方差與標準差
具有以下屬性的散布度量將是有用的：
度量應該與數(shù)據(jù)的分散成比例（當數(shù)據(jù)聚集在一起時很小，當數(shù)據(jù)廣泛分散時很大）。
該度量應該與數(shù)據(jù)集中的值的數(shù)量無關(guān)（否則，僅通過進行更多測量，即使測量的散布沒有增加，該值也會增加）。
該措施應該與平均值無關(guān)（因為現(xiàn)在我們只對數(shù)據(jù)的傳播感興趣，而不是其中心趨勢）。
兩個方差和標準偏差滿足這三個標準正態(tài)分布的（對稱的，“鐘形曲線”）的數(shù)據(jù)集。
方差（σ 2）是在數(shù)據(jù)組中的每個值相差多少的平均值的度量。以下是它的定義方式：
從數(shù)據(jù)中的每個值中減去均值。這可以衡量每個值與平均值的距離。
對這些距離中的每一個進行平方（以便它們都是正值），并將所有正方形加在一起。
將平方和除以數(shù)據(jù)集中的值數(shù)。
標準差（σ）只是方差的（正）平方根。
求和運算符
為了編寫定義方差的方程，最簡單的方法是使用求和運算符 Σ。求和運算符只是一種簡寫的寫法，“取一組數(shù)字的總和。” 作為一個例子，我們將展示如何使用求和運算符來編寫用于計算數(shù)據(jù)集1的平均值的等式。我們首先將每個數(shù)字分配給變量X 1 - X 6，如下所示：
| 數(shù)據(jù)集1 | |
|---|---|
| 變量 | 值 |
| X 1 | 3 |
| X 2 | 4 |
| X 3 | 4 |
| X 4 | 五 |
| X 5 | 6 |
| X 6 | 8 |
將變量（X）視為每個植物的實驗樣葉數(shù)的測量數(shù)量 - 并將下標視為指示試驗數(shù)（1-6）。為了計算每株植物的平均葉數(shù)，我們首先必須將六個試驗中的每一個的值相加。使用求和運算符，我們這樣寫：
這相當于：
要么：
顯然，使用求和運算符寫入的總和要緊湊得多。下面是計算平均方程，μ X，采用求和運營商設定我們的數(shù)據(jù)：
計算一組數(shù)字X 1 - X N的平均值μ的一般公式如下：
有時候，為了簡單起見，下面省略了下標，正如我們在右邊所做的那樣。取消下標會使方程式變得更加混亂，但仍然可以理解，您正在將X的所有值相加。
方程定義方差
現(xiàn)在您已了解求和運算符的工作原理，您可以了解定義總體方差的等式（請參閱本頁末尾有關(guān)總體方差和樣本方差之間的差異，以及您應該將哪一個用于科學項目） ：
方差（σ 2），被定義為每一個項的平方距離的在從所述平均值（分布的總和μ），通過在分布（項數(shù)除以?）。
有一種更有效的方法來計算一組數(shù)字的標準偏差，如下式所示：
您可以獲取分布中術(shù)語的平方和，并除以分布中的項數(shù)（N）。從此，你減去平均值（平方μ 2）。以這種方式計算標準偏差的工作要少得多。
很容易向自己證明這兩個方程是等價的。從方差的定義開始（下面的等式1）。展開表達式，以便將平均值與平均值的距離進行平方（下面的公式2）。
現(xiàn)在將方程的各個項分開（求和運算符分配括號中的項，參見上面的公式3）。在最后的術(shù)語，總和μ 2 / ?，采取?次，只是Nμ 2 / ?。
接下來，我們可以簡化公式3.在第二個任期的第二項和第三項，你可以看到，Σ X / ?是寫作的只是另一種方式μ，術(shù)語的平均水平。所以第二項簡化為-2 μ 2（比較等式3和4，上圖）。在第三項，? / ?等于1，所以第三項簡化為μ 2（比較等式3和4，上圖）。
最后，根據(jù)公式4，您可以看到第二項和第三項可以組合，為我們提供了我們試圖在公式5中證明的結(jié)果。
作為一個例子，讓我們回到我們開始討論的兩個發(fā)行版：
數(shù)據(jù)集1：3,4,4,5,6,8
數(shù)據(jù)集2：1,2,4,5,7,11。
每個數(shù)據(jù)集的方差和標準差是多少？
我們將構(gòu)造一個表來計算值。您可以使用類似的表格來查找實驗結(jié)果的方差和標準差。
| 數(shù)據(jù)集 | ? | Σ X | Σ X 2 | μ | μ 2 | σ 2 | σ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 三十 | 166 | 五 | 25 | 2.67 | 1.63 |
| 2 | 6 | 三十 | 216 | 五 | 25 | 11.00 | 3.32 |
雖然這兩個數(shù)據(jù)集具有相同的平均值（μ = 5），方差（σ 2）所述第二數(shù)據(jù)集，11.00的，是略多于4倍所述第一數(shù)據(jù)集，2.67的方差。標準差（σ）是方差的平方根，因此第二個數(shù)據(jù)集的標準差3.32，剛好超過第一個數(shù)據(jù)集的標準偏差的兩倍，即1.63。
方差和標準偏差給出了數(shù)據(jù)集散點的數(shù)值測量。這些度量對于在數(shù)據(jù)集之間進行比較非常有用，這些數(shù)據(jù)集超出了簡單的視覺印象。
種群方差與樣本方差
上面給出的等式向您展示了如何計算整個總體的方差。但是，在進行科學項目時，您幾乎永遠無法訪問整個人口的數(shù)據(jù)。例如，您可以測量教室中每個人的身高，但無法衡量地球上每個人的身高。如果你用彈射器發(fā)射一個乒乓球并測量它的行進距離，理論上你可以無限次地發(fā)射球。在任何一種情況下，您的數(shù)據(jù)只是整個人口的樣本。這意味著您必須使用稍微不同的公式來計算方差，在分母中使用N-1項而不是N：
這被稱為貝塞爾的修正。
